MATHEMATICS · NUMBER & ALGEBRA

数と代数

数の中に、終わりのない謎がある。

1、2、3と数えることから始まった数は、ゼロ、負の数、分数、無理数、虚数へと広がってきました。代数は、具体的な数を文字に置き換えて、計算の「かたち」そのものを調べる分野です。いちばん単純に見える問いほど、いちばん難しいことがあります。

数と代数とは

素数は、数の原子。

すべての自然数は、素数の掛け算にただ一通りに分解できる。素数は数をつくる最小の部品です。その素数がどこに現れるかには、規則がありそうで、まだ完全には分かっていません。

代数は、方程式を解くことから始まり、やがて「どんな操作でかたちが変わらないか」という対称性そのものを調べる学問へ進んでいきました。

数の広がり自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数

引き算のために負の数が、割り算のために分数が、2乗して−1になる数のために虚数が生まれた。数は、計算を閉じさせるために広がってきた。

素数は無限にある

紀元前300年ごろ、ユークリッドが証明した。どれだけ大きな素数を見つけても、その先にまだある。

方程式と解の公式

2次から4次の方程式には解の公式がある。けれど5次以上には、一般に公式が存在しないことが証明された。

群 ― 対称性を数える

回したり裏返したりしても形が変わらない操作の集まり。ガロアは、方程式が解けるかどうかを、解の対称性で決めた。

余りの計算

時計のように、ある数で割った余りだけを見る計算。曜日の計算から、インターネットの暗号まで使われている。

対称性を数えることが、解けるかどうかを決めていた。

つぶやきに置いた問い「対称性は、なぜ存在するのか」。数学の世界では、対称性は「群」として数えられ、方程式が解けるかどうかまで決めていました。対称性は、なぜ存在するんだろう。→

すべての数が素数の掛け算でできているのは、少ない要素から、複雑が生まれるという見方の、いちばん純粋な例かもしれません。