MATHEMATICS · GEOMETRY & TOPOLOGY

形 ― 幾何とトポロジー

まっすぐな世界は、特別な世界だった。

三角形の内角の和は180度。学校で習ったこの事実は、平らな面の上でしか成り立ちません。地球儀の上に大きな三角形を描けば、内角の和は180度を超える。幾何学は形と空間の性質を調べ、トポロジーは「伸び縮みしても変わらない性質」を調べる分野です。

幾何とトポロジーとは

コーヒーカップとドーナツは、同じ形。

トポロジーでは、ちぎったり穴をあけたりせずに伸び縮みさせて重なる形は「同じ」と考えます。取っ手のあるカップとドーナツは、どちらも穴が一つなので同じ仲間。細かな長さや角度を捨てて、つながり方だけを見る見方です。

一方、幾何学は長さや角度、曲がり具合まで含めて空間を調べます。2000年以上、空間はまっすぐだと考えられてきましたが、そうでない空間も矛盾なくつくれることが分かりました。

公理から始める

ユークリッドは、少数の当たり前の約束（公理）から、すべての定理を証明で導いた。数学の「証明」という方法の原型。

形を式にする ― 座標

デカルトは、図形を数の組と式で表した。形の問題を計算で解けるようになった。

曲がった空間

平行線についての公理を変えると、三角形の内角の和が180度より大きい空間や小さい空間ができる。どちらも矛盾しない。

曲率

空間がどれだけ曲がっているかを表す量。球の表面は正に、鞍の形は負に曲がっている。

トポロジー

伸び縮みしても変わらない性質（穴の数、つながり方）を調べる。

現実と関係なく生まれた形の学問が、宇宙の形を語る言葉になった。

非ユークリッド幾何学は、「平行線の公理を変えたらどうなるか」という純粋な問いから生まれました。80年以上たって、それが重力と宇宙の形を書く言葉になった。数学は人間が発明したものなのか、それとも世界の側にあるものを発見しているのか。その問いが、ここでいちばん鮮やかに現れます。

形の対称性も、つぶやきの問い「対称性は、なぜ存在するのか」と同じ場所にあります。