MATHEMATICS · LOGIC & STRUCTURE
構造と論理
数学の土台を、数学で確かめる。
数学は証明によって正しさを決める学問です。では、その証明の土台そのものは確かなのか。20世紀のはじめ、数学者たちは数学の基礎を数学で確かめようとしました。その結果分かったのは、どんなに頑丈な体系にも「証明できない正しいこと」がある、という驚きでした。
構造と論理とは
正しいのに、証明できないことがある。
論理は、正しい前提から正しい結論を導くための規則です。集合は「ものの集まり」という、数学のいちばん下にある言葉です。
この二つを使って、数とは何か、無限とは何か、証明とは何かを、改めて定義し直す試みが続けられてきました。
基本の考え方
公理と証明
疑わない約束を少しだけ置き、そこから論理だけで結論を積み上げる。
集合
ものの集まりとして、数も図形も関数も表せる。数学の共通の土台。
無限にも大きさがある
カントールは、自然数の無限より、実数の無限のほうが「大きい」ことを示した。
パラドックス
「自分自身を含まない集合の集合」は、自分自身を含むのか。素朴な集合の考えには、矛盾が潜んでいた。
不完全性定理
ゲーデルは、ある程度強い数学の体系には、正しいのにその体系の中では証明できない命題が必ずあることを示した。
身のまわりの論理
- プログラムの「もし〜なら」 ― コンピュータの中は、真か偽かの論理の組み合わせで動いている。
- 検索のAND・OR ― 条件を組み合わせて絞り込むのは、集合の考え方そのもの。
- 契約書や法律の文章 ― 条件と例外を論理的に組み立てている。
流れ
- 前4世紀アリストテレスの論理学正しい推論の型をまとめる。
- 1854ブールの論理代数論理を計算として扱う。のちのコンピュータの基礎。
- 1874カントールの集合論無限の大きさを比べる。
- 1900ヒルベルトの23の問題数学の基礎を固める計画。
- 1901ラッセルのパラドックス集合の考えに矛盾が見つかる。
- 1931ゲーデルの不完全性定理完全で矛盾のない体系はつくれない。
ほかの分野とのつながり
自分の問いとのつながり
数学は、発見されるものか、発明されるものか。
数学は人間が決めた約束から出発するのに、その中に人間の思い通りにならない「正しいのに証明できないこと」が現れる。だとすれば、数学は人間がつくったものであると同時に、どこかで人間の外にあるもののようにも見えます。
少ない約束から、果てしなく豊かな世界が生まれる。少ない要素から、複雑が生まれるという見方の、数学版です。
まだ答えが出ていない
- 証明できない「正しさ」とは、いったい何なのか
- 数学は発見されるものか、発明されるものか